Question

2．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC₁上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S． 
①當$0＜CQ＜\frac{1}{2}$時，S為四邊形
②截面在底面上投影面積恒為定值$\frac{3}{4}$
③不存在某個位置，使得截面S與平面A₁BD垂直 
④當$CQ=\frac{3}{4}$時，S與C₁D₁的交點滿足C₁R₁=$\frac{1}{3}$
其中正確命題的個數為   （　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 1對選項逐個進行檢驗即可，對于①：得到0＜DT＜1，可以容易得到S為四邊形；對于②則找其投影即可；對于③，則需要找線面垂直關系即可；對于④，則需補圖完成．

解答 解：設截面與DD₁相交于T，則AT∥PQ，且AT=2PQ⇒DT=2CQ．
對于①，當0＜CQ＜$\frac{1}{2}$時，則0＜DT＜1，所以截面S為四邊形，且S為梯形，故①正確；
對于②，當CQ＞$\frac{1}{2}$時，投影面積不為$\frac{3}{4}$，故②不正確；
對于③，存在某個位置，使得截面S與平面A₁BD垂直，故③正確；
對于④，當CQ=$\frac{3}{4}$時，如圖，
延長DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，連接AN交A₁D₁于S，連接NQ交C₁D₁于R，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=$\frac{1}{3}$，故④正確；
故選：C．

點評 本題重點考查了空間幾何體的結構特征、空間中點線面的位置關系等知識，考查命題真假的判斷與應用，涉及正方體的截面問題，屬中檔題．