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2.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC1上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S. 
①當$0<CQ<\frac{1}{2}$時,S為四邊形
②截面在底面上投影面積恒為定值$\frac{3}{4}$
③不存在某個位置,使得截面S與平面A1BD垂直 
④當$CQ=\frac{3}{4}$時,S與C1D1的交點滿足C1R1=$\frac{1}{3}$
其中正確命題的個數為   (  )
A.1B.2C.3D.4

分析 1對選項逐個進行檢驗即可,對于①:得到0<DT<1,可以容易得到S為四邊形;對于②則找其投影即可;對于③,則需要找線面垂直關系即可;對于④,則需補圖完成.

解答 解:設截面與DD1相交于T,則AT∥PQ,且AT=2PQ⇒DT=2CQ.
對于①,當0<CQ<$\frac{1}{2}$時,則0<DT<1,所以截面S為四邊形,且S為梯形,故①正確;
對于②,當CQ>$\frac{1}{2}$時,投影面積不為$\frac{3}{4}$,故②不正確;
對于③,存在某個位置,使得截面S與平面A1BD垂直,故③正確;
對于④,當CQ=$\frac{3}{4}$時,如圖,
延長DD1至N,使D1N=$\frac{1}{2}$,連接AN交A1D1于S,連接NQ交C1D1于R,連接SR,可證AN∥PQ,由△NRD1∽△QRC1,可得C1R:D1R=C1Q:D1N=1:2,故可得C1R=$\frac{1}{3}$,故④正確;
故選:C.

點評 本題重點考查了空間幾何體的結構特征、空間中點線面的位置關系等知識,考查命題真假的判斷與應用,涉及正方體的截面問題,屬中檔題.

練習冊系列答案
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