Question

10．已知關于x的方程x²+ax+a-2=0．
（1）當該方程的一個根為1時，求a的值及該方程的另一根；
（2）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根．
（3）設該方程的兩個實數根分別為x₁，x₂，若2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，求a的值．

Answer 1

分析 （1）將x=1帶入方程求解a的值及該方程的另一根即可．
（2）利用判別式即可證明方程都有兩個不相等的實數根．
（3）利用韋達定理求解x₁+x₂和x₁x₂的值帶入2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，求a的值．

解答 解：（1）方程x²+ax+a-2=0．
當x=1時，有1+a+a-2=0，解得：a=$\frac{1}{2}$．
可得2x²+x-3=0，
分解因式可得：（2x+3）（x-1）=0．
${x}_{1}=1，{x}_{2}=-\frac{3}{2}$
故得另一個根為$-\frac{3}{2}$．
（2）判別式△=b²-4ac=a²+4（2-a）=（a-2）²+4恒大于0．
∴方程都有兩個不相等的實數根．
（3）根據韋達定理：x₁+x₂=$-\frac{a}$=-a，x₁x₂=$\frac{c}{a}$=a-2
那么：2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，即2（-a）+（a-2）+10=0，
解得：a=8．
故若2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，則a的值為8．

點評 本題考查的知識點是根的分布，方程的根以及韋達定理的運用．比較基礎．