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1.已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{(m+1)^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1(m>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$,P是該雙曲線上的點,P在該雙曲線兩漸近線上的射影分別是A,B,則|PA|•|PB|的值為(  )
A.$\frac{4}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{4}{3}$D.$\frac{3}{4}$

分析 運用離心率公式,解方程可得m=1,求得漸近線方程,設P(s,t),可得s2-4t2=4,運用點到直線的距離公式,化簡整理,即可得到所求值.

解答 解:雙曲線$\frac{{x}^{2}}{(m+1)^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1(m>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$,
可得e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{(m+1)^{2}+{m}^{2}}{(m+1)^{2}}$=$\frac{5}{4}$,
解得m=1,
即雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1,
漸近線方程為x±2y=0,
設P(s,t),可得s2-4t2=4,
由題意可得|PA|•|PB|=$\frac{|s+2t|}{\sqrt{1+4}}$•$\frac{|s-2t|}{\sqrt{1+4}}$
=$\frac{|{s}^{2}-4{t}^{2}|}{5}$=$\frac{4}{5}$.
故選:A.

點評 本題考查雙曲線的方程和性質,主要是離心率和漸近線方程,考查點到直線的距離公式,化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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