Question

4．下列函數中，y的最小值為4的是（　　）

• A． y=x+$\frac{4}{x}$
• B． y=$\frac{2（x+3）}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$
• C． y=sin x+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π）
• D． y=e^x+e^-x

Answer 1

分析 A．x＜0時，y＜0，不成立；
B．x≤-3時，則y≤0，不成立．
C.0＜x＜π，令sinx=t∈（0，1），則y=t+$\frac{4}{t}$，利用導數研究函數單調性即可判斷出結論．
D．利用基本不等式的性質即可判斷出結論．

解答 解：A．x＜0時，y＜0，不成立；
B．x≤-3時，則y≤0，不成立．
C．∵0＜x＜π，令sinx=t∈（0，1），則y=t+$\frac{4}{t}$，${y}^{′}=1-\frac{4}{{t}^{2}}$＜0，因此函數單調遞減，∴y＞5，不成立．
D．y=e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，當且僅當x=0時取等號，成立．
故選：D．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．