Question

3．已知函數f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）．
（1）若f（x）為奇函數，求λ的值和此時不等式f（x）＞1的解集；
（2）若不等式f（x）≤6對x∈[0，2]恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接由f（-x）+f（x）=0求得λ值．把求得的λ值代入f（x），由f（x）＞1求得3^x的范圍，進一步求解指數不等式得答案；
（2）由題意可得3^x+$\frac{λ}{{3}^{x}}$≤6，令t=3^x∈[1，9]，原不等式等價于λ≤6t-t²在t∈[1，9]上恒成立，令g（t）=6t-t²，t∈[1，9]，求得最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=3^x+λ•3^-x為奇函數，
∴f（-x）+f（x）=3^-x+λ•3^x+3^x+λ•3^-x=（3^x+3^-x）+λ（3^x+3^-x）=（λ+1）（3^x+3^-x）=0，
∵3^x+3^-x＞0，∴λ+1=0，即λ=-1．
此時f（x）=3^x-3^-x，
由f（x）＞1，得3^x-3^-x＞1，即（3^x）²-3^x-1＞0，
解得：${3}^{x}＜\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍），或3^x＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，即x＞$lo{g}_{3}\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
∴不等式f（x）＞1的解集為（$lo{g}_{3}\frac{1+\sqrt{5}}{2}，+∞$）；
（2）由f（x）≤6得3^x+λ3^-x≤6，即3^x+$\frac{λ}{{3}^{x}}$≤6，
令t=3^x∈[1，9]，
原不等式等價于t+$\frac{λ}{t}$≤6在t∈[1，9]上恒成立，
亦即λ≤6t-t²在t∈[1，9]上恒成立，
令g（t）=6t-t²，t∈[1，9]，
當t=9時，g（t）有最小值g（9）=-27，
∴λ≤-27．

點評 本題考查函數的奇偶性的判斷，注意運用分類討論的思想方法和奇偶性的定義，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和二次函數的最值的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．