Question

12．已知函數f（x）=$\frac{ax-1}{e^x}$．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a＜0時，求函數f（x）在區間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，x∈R，
∴f′（x）=$\frac{-x+2}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜2，
令f′（x）＜0，解得：x＞2，
∴f（x）在（-∞，2）遞增，在（2，+∞）遞減；
（Ⅱ）由f（x）=$\frac{ax-1}{{e}^{x}}$得：
f′（x）=$\frac{-ax+a+1}{{e}^{x}}$，x∈[0，1]，
令f′（x）=0，∵a＜0，解得：x=1+$\frac{1}{a}$＜1，
①1+$\frac{1}{a}$≤0時，即-1≤a＜0時，f′（x）≥0對x∈[0，1]恒成立，
∴f（x）在[0，1]遞增，f（x）_min=f（0）=-1；
②當0＜1+$\frac{1}{a}$＜1時，即a＜-1時，
x，f′（x），f（x）在[0，1]上的情況如下：

x	0	（0，1+$\frac{1}{a}$）	1+$\frac{1}{a}$	（1+$\frac{1}{a}$，1）	1
f′（x）		-	0	+
f（x）		遞減	極小值	遞增

∴f（x）min=f（1+$\frac{1}{a}$）=$\frac{a}{{e}^{1+\frac{1}{a}}}$；
綜上，-1≤a＜0時，f（x）_min=-1，a＜-1時，f（x）_min=$\frac{a}{{e}^{1+\frac{1}{a}}}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．