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20.以下四個關于圓錐曲線的命題中
①設A,B為兩個定點,k為非零常數,|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k,則動點P的軌跡為雙曲線;
②方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
③設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB,O為坐標原點,若$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$),則動點P的軌跡為橢圓;
④過點(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點,這樣的直線有3條;
其中真命題的序號為②④.(寫出所有真命題的序號)

分析 ①不正確.若動點P的軌跡為雙曲線,則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離;②正確.方程2x2-5x+2=0的兩根$\frac{1}{2}$和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;③不正確.根據平行四邊形法則,易得P是AB的中點.由此可知P點的軌跡是一個圓;④正確.先看當直線斜率不存在時,聯立方程,再看直線斜率存在時設出直線方程,與拋物線方程聯立有一個交點時求k的值.

解答 解:①不正確.若動點P的軌跡為雙曲線,則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離.
當點P在頂點AB的延長線上時,K=|AB|,顯然這種曲線是射線,而非雙曲線;
②正確.方程2x2-5x+2=0的兩根分別為$\frac{1}{2}$和2,$\frac{1}{2}$和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
③不正確.根據平行四邊形法則,易得P是AB的中點.根據垂徑定理,
圓心與弦的中點連線垂直于這條弦,設圓心為C,
那么有CP⊥AB即∠CPB恒為直角.由于CA是圓的半徑,是定長,
而∠CPB恒為直角.也就是說,P在以CP為直徑的圓上運動,
∠CPA為直徑所對的圓周角.所以P點的軌跡是一個圓,如圖.
④正確.當直線斜率不存在時,直線的方程為x=0,與拋物線方程聯立求得x=0,y=0,此時直線與拋物線只有一個交點;當直線斜率存在時,設直線方程y=kx+1,與拋物線方程聯立得k2x2+(2k-4)x+1=0,
當k=0時,y=1代入拋物線求得x=1,此時直線與拋物線有一個交點,
當k≠0,要使直線與拋物線只有一個交點需△=(2k-4)2-4k2=0,求得k=1,
綜合可知要使直線與拋物線僅有個公共點,這樣的直線有3條,
故答案為:②④.

點評 本題考查了橢圓,雙曲線,拋物線的定義,及圓錐曲線的共同特征---離心率,考查了學生的靈活把握定義及基礎知識的能了,是中檔題.

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