Question

9．若等比數列{a_n}的前n項和S_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+a（n∈N^*），則數列{a_n}的各項和為-1．

Answer 1

分析 由數列的前n項和求出首項和通項公式（n≥2），把首項代入求a，得到等比數列的通項公式，求出公比，代入無窮遞縮等比數列的所有項和的公式得答案．

解答 解：由${S}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}+a$，得${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}+a$，
${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（\frac{1}{2}）^{n}+a-（\frac{1}{2}）^{n-1}-a$=$-（\frac{1}{2}）^{n}$（n≥2），
∵數列{a_n}是等比數列，∴$\frac{1}{2}+a=-\frac{1}{2}$，得a=-1．
∴${a}_{n}=-（\frac{1}{2}）^{n}$，則${a}_{1}=-\frac{1}{2}，q=\frac{1}{2}$，
則數列{a_n}的各項和為$\frac{{a}_{1}}{1-q}=\frac{-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=-1$．
故答案為：-1．

點評 本題考查等比數列的通項公式，考查了無窮遞縮等比數列的所有項和的求法，是基礎題．