Question

4．在平面直角坐標系中，若不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-1≤0}\\{ax-y+1≥0}\end{array}}$（a為常數）所表示的平面區域的面積等于2，則z=（x+1）²+（y+1）²的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由題意分a＜0、a≥0畫出圖形，可知當a＜0時，不等式組所表示的平面區域是一個無限的角形區域，面積不可能為2；當a≥0時，由z=（x+1）²+（y+1）²的幾何意義，即可行域內的動點與定點（-1，-1）的距離的平方得答案．

解答 解：當a＜0時，不等式組所表示的平面區域，如圖甲中的M，一個無限的角形區域，面積不可能為2，故只能a≥0；
此時不等式組所表示的平面區域如圖乙中的N，區域為三角形區域，若這個三角形的面積為2，則AB=4，即點B的坐標為（1，4），代入y=ax+1，得a=3，
z=（x+1）²+（y+1）²的最小值即平面區域N中的點到（-1，-1）距離的平方的最小值，
由點到直線的距離公式可得：（-1，-1）到直線x+y-1=0的距離d=$\frac{|-1×1-1×1-1|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴${z_{min}}=\frac{9}{2}$．

故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查分類討論、數形結合等解題思想方法，是中檔題．