Question

19．已知x，y為任意實數，有a=2x+y，b=2x-y，c=y-1
（1）若4x+y=2，求a²+b²+c²的最小值；
（2）求|a|，|b|，|c|三個數中最大數的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用消元法，消去y，轉化成二次函數求解最小值即可．
（2）設定最大數的集合，利用最大數構造不等式的基本性質求解即可．

解答 解：（1）由題意：a=2x+y，b=2x-y，c=y-1，
∵4x+y=2，
∴y=2-4x
那么：a²+b²+c²=4-8x+4x²+36x²-24x+4+1-8x+16x²=56x²+40x+9=56（$x-\frac{5}{14}$）²+$\frac{13}{7}$
∴當x=$\frac{5}{14}$時，a²+b²+c²取得最小值為$\frac{13}{7}$．
（2）設M_max={|a|，|b|，|c|}，
則M≥|a|，M≥|b|，M≥|c|，
4M≥|a|+|b|+2|c|≥|a-b-2c|=2，
∴M$≥\frac{1}{2}$．
所以|a|，|b|，|c|三個數中最大數的最小值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了利用消元法消去一個未知數，轉化為二次函數求解最值的問題和利用不等式的基本性質求解最值的思想．屬于中檔題．