Question

14．定義：關于x的兩個不等式f（x）＜0，g（x）＜0的解集分別為（a，b）和（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$），則稱這兩個不等式為對偶不等式，如果不等式x${\;}^{2}-4\sqrt{3}xcosθ+2＜0$與不等式2x²+4sinθ+1＜0為對偶不等式，且θ∈（0，π），則θ=$\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 依題意知，a、b為x${\;}^{2}-4\sqrt{3}xcosθ+2＜0$=0的兩根，方程2x²+4xsinθ+1=0的兩根為 $\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，利用韋達定理可得tanθ=-$\sqrt{3}$，θ∈（0，π），從而可求θ．

解答 解：設方為a、b，則a+b=4$\sqrt{3}$cosθ，ab=2，
又方程2x²+4xsin2θ+1=0的兩根為$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$，
所以 $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=-2sinθ，
所以$\frac{4\sqrt{3}cosθ}{2}$=-2sinθ，即tanθ=-$\sqrt{3}$，
因為θ∈（0，π），
所以θ=$\frac{5π}{6}$．
故答案為：$\frac{5π}{6}$．

點評 本題考查三角函數的化簡求值，考查方程思想與韋達定理的應用，求得tanθ=-$\sqrt{3}$是關鍵，考查運算求解能力，屬于中檔題．