Question

9．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（2-a）x-12，x≤7\\{（a+2）^{x-6}}，x＞7\end{array}$是R上的增函數
（1）求實數a的取值范圍；
（2）若g（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+2ax（x∈[{1，4}]）$的最小值為-$\frac{16}{3}$，試比較f（g（x））的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用指數函數和一次函數的單調性，可得2-a＞0，a+2＞1，再由單調性的定義可得7（2-a）-12≤a+2，解不等式即可得到所求范圍；
（2）求得g（x）的導數，求得極值點，判斷最小值點，解得a=2，再求最大值，由單調性即可得到所求大小．

解答 解：（1）由題意可得，當x≤7時，有2-a＞0，解得a＜2；
當x＞7時，有a+2＞1，解得a＞-1；
又7（2-a）-12≤a+2，解得a≥0．
綜上可得0≤a＜2；
（2）g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax的導數為g′（x）=-x²+x+2a，
由g′（x）=0，可得x=$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{2}$（舍去）或x=$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$，
由0≤a＜2，可得 $\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$∈[1，4]，且為最大值點，
若g（1）為最小值，即有$\frac{1}{6}$+2a=-$\frac{16}{3}$，解得a=-$\frac{11}{4}$（舍去）：
若g（4）為最小值，即有8a-$\frac{40}{3}$=-$\frac{16}{3}$，解得a=1，檢驗成立．
此時g（x）的最大值為g（2）=-$\frac{8}{3}$+2+4=$\frac{10}{3}$，
即有g（x）≤$\frac{10}{3}$，由f（x）在R上遞增，可得
f（g（x））≤f（$\frac{10}{3}$）．

點評 本題考查函數的單調性的運用，考查導數的運用：求單調區間和極值、最值，考查運算能力，屬于中檔題．