Question

5．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$夾角為120°求：
（Ⅰ）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；  
（Ⅱ）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（Ⅲ）$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夾角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量數(shù)量的夾角公式和加減運算法則的關(guān)系即可得出．
（Ⅱ）求出（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²，在求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的長度．
（Ⅲ）利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，由于$|\overrightarrow a|=4$，$|\overrightarrow b|=2$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角為120°，
那么可得：$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）={\overrightarrow a^2}-2{\overrightarrow b^2}-\overrightarrow a•\overrightarrow b=16-8-4×2×（-\frac{1}{2}）=12$．
（Ⅱ）∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=16+4+2cos120°•$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|$=12，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$2\sqrt{3}$．
（Ⅲ）根據(jù)題意，$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）=$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•cosθ$，
那么：cosθ=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{16+4×2•cos120°}{4×2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{6}$，
故得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夾角$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的表示以及計算，考查計算能力．