Question

10．從邊長為10cm×16cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，作成一個無蓋的盒子．盒子的高為多少時，盒子的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

分析 設盒子的高為xcm，則盒子的底邊長分別為（10-2x）cm，（16-2x）cm．盒子的容積是V（x）=（16-2x）（10-2x）x，x∈（0，5）．利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解答 解：設盒子的高為xcm，則盒子的底邊長分別為（10-2x）cm，（16-2x）cm．
盒子的容積是V（x）=（16-2x）（10-2x）x，x∈（0，5）．
由V'（x）=12x²-104x+160=0．
解得x₁=2或${x_2}=\frac{20}{3}$（舍）．
當x∈（0，2）時，V'（x）＞0；當x∈（2，5）時，V'（x）＜0．
∴函數V（x）在x=2處取得極大值，這個極大值就是函數V（x）的最大值V（2）=144（cm³）．
答：當盒子的高2cm為時，盒子的容積最大，最大值為144cm³．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．