Question

9．已知函數$f（x）=\frac{16}{x}+{x^2}，x∈（0，+∞）$
（1）利用函數單調性定義，求函數f（x）單調區間；
（2）已知函數g（x）=|lgx|．若0＜a＜b，且g（a）=g（b），求a²+16b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設0＜x₁＜x₂，結合已知中的解析式，及函數單調性的定義，可求出函數f（x）單調區間；
（2）g（a）=g（b），所以|lga|=|lgb|，結合0＜a＜b和對勾函數的圖象和性質，可得a²+16b的取值范圍．

解答 解：（1）設0＜x₁＜x₂，
所以$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}^2+\frac{16}{x_1}-（{x_2}^2+\frac{16}{x_2}）=（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}-\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}）$
當0＜x₁＜x₂≤2時，x₁+x₂＜4，0＜x₁x₂＜4，$\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}＞4$，
所以${x_1}+{x_2}-\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}＜0$，
所以$（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}-\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}）＞0$，
所以f（x₁）＞f（x₂）…（4分）
當2≤x₁＜x₂時，x₁+x₂＞4，x₁x₂＞4，$\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}＜4$，
所以${x_1}+{x_2}-\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}＞0$，
所以$（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}-\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}）＜0$，所以f（x₁）＜f（x₂）…（8分）
所以f（x）在區間（0，2]上遞減；在區間[2，+∞）上遞增
（2）g（a）=g（b），所以|lga|=|lgb|
∴a=b（舍）或ab=1…（10分）
因為0＜a＜b且ab=1，
∴0＜a＜1，b＞1，…（12分）
所以${a^2}+16b={a^2}+\frac{16}{a}$，
由（1）知${a^2}+\frac{16}{a}$在a∈（0，1）內遞減，
所以${a^2}+\frac{16}{a}$＞17，
所以${a^2}+\frac{16}{a}∈（17，+∞）$…（16分）

點評 本題考查的知識點是函數的單調性，對勾函數的圖象和性質，轉化思想，難度中檔．