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2.已知圓C:x2+y2+2x-3=0.
(1)求圓的圓心C的坐標和半徑長;
(2)直線l經過坐標原點且不與y軸重合,l與圓C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,求證:$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$為定值.

分析 (1)把圓C的方程化為標準方程,寫出圓心和半徑;
(2)設出直線l的方程,與圓C的方程組成方程組,消去y得關于x的一元二次方程,由根與系數的關系求出$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$的值.

解答 (1)解:圓C:x2+y2+2x-3=0,配方得(x+1)2+y2=4,
則圓心C的坐標為(-1,0),圓的半徑長為2;
(2)證明:設直線l的方程為y=kx,
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}+2x-3=0\\ y=kx\end{array}\right.$,
消去y得(1+k2)x2+2x-3=0,
則有:${x_1}+{x_2}=-\frac{2}{{1+{k^2}}}$,${x_1}{x_2}=-\frac{3}{{1+{k^2}}}$,
所以$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{2}{3}$為定值.

點評 本題考查了直線與圓的方程的應用問題,考查方程組的應用,考查了轉化思想,是綜合性題目.

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