Question

2．已知圓C：x²+y²+2x-3=0．
（1）求圓的圓心C的坐標和半徑長；
（2）直線l經過坐標原點且不與y軸重合，l與圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，求證：$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$為定值．

Answer 1

分析 （1）把圓C的方程化為標準方程，寫出圓心和半徑；
（2）設出直線l的方程，與圓C的方程組成方程組，消去y得關于x的一元二次方程，由根與系數的關系求出$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$的值．

解答 （1）解：圓C：x²+y²+2x-3=0，配方得（x+1）²+y²=4，
則圓心C的坐標為（-1，0），圓的半徑長為2；
（2）證明：設直線l的方程為y=kx，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}+2x-3=0\\ y=kx\end{array}\right.$，
消去y得（1+k²）x²+2x-3=0，
則有：${x_1}+{x_2}=-\frac{2}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=-\frac{3}{{1+{k^2}}}$，
所以$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{2}{3}$為定值．

點評 本題考查了直線與圓的方程的應用問題，考查方程組的應用，考查了轉化思想，是綜合性題目．