Question

18．在銳角三角形中，A=2B，則下列敘述正確的是②③．
①sin3B=sin2C  ②tan$\frac{C}{2}$tan$\frac{3B}{2}$=1  ③$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$  ④$\frac{a}{b}$∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由已知的三角形為銳角三角形以及A=2B 的關系，結合內角和定理以及正弦定理解答．

解答 解：因為在銳角三角形中，A=2B，所以A+B+C=3B+C=180°，即3B=180°-C，所以①sin3B=sin2C錯誤；
所以sin3B=sinC，由倍角公式得到sin$\frac{3B}{2}cos\frac{3B}{2}=sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}$，所以 ②tan$\frac{C}{2}$tan$\frac{3B}{2}$=1 正確；
對于③，因為三角形為銳角三角形，所以$\left\{\begin{array}{l}{0＜2B＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，所以③$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$  正確；
由③得到$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}=\frac{sin2B}{sinB}$=2cosB∈（2cos$\frac{π}{4}$，2cos$\frac{π}{6}$）即為（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），所以④$\frac{a}{b}$∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]錯誤．
故答案為：②③．

點評 本題考查了三角形的有關行政以及正弦定理的運用；注意三角形的形狀是約束內角的關鍵條件．