Question

在△ABC中，（

2

a-c）cosB=bcosC，cos2A+1-

8

5

cosA=0，則tan（

π

4

+A）=

 

．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,兩角和與差的正切函數

專題：三角函數的求值

分析：根據三角函數的倍角公式進行化簡即可．

解答： 解：由正弦定理得：（

2

sinA-sinC）cosB=sinBcosC
∴

2

sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
即

2

sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，
∴

2

sinAcosB=sin（B+C），
∵在△ABC中sin（B+C）=sinA，
∴

2

sinAcosB=sinA，
∴cosB=

2

2

，B=

π

4

，
∵cos2A+1-

8

5

cosA=0，
∴2cos²A-1+1-

8

5

cosA=0，
即2cos²A-

8

5

cosA=0，
解得cosA=0或cosA=

4

5

，
若cosA=0，則A=

π

2

，
則tan（

π

4

+A）=tan

3π

4

=-1，
若cosA=

4

5

，則sinA=

3

5

，則tanA=

3

4

，
則tan（

π

4

+A）=

1+tanA

1-tanA

=

1+ 3 4

1- 3 4

=7，
故答案為：7或-1

點評：本題主要考查三角函數式子的化簡，利用三角函數的倍角公式以及正弦定理是解決本題的關鍵．