Question

設0≤x≤a，求函數f（x）=3x⁴-8x³-6x²+24x的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：由題意求導f′（x）=12x³-24x²-12x+24=12（x+1）（x-1）（x-2），從而確定單調區間，從而分類討論求最值．

解答： 解：∵f（x）=3x⁴-8x³-6x²+24x，
∴f′（x）=12x³-24x²-12x+24
=12（x+1）（x-1）（x-2）
∴f（x）在[0，1]，[2，+∞）上是增函數，在[1，2]上是減函數；
①當0＜a≤1時，
f_min（x）=f（0）=0；f_max（x）=f（a）=3a⁴-8a³-6a²+24a；
②當1＜a≤2時，
f（0）=0，f（2）=8，f（1）=13；
f_min（x）=0；f_max（x）=f（1）=13；
3x⁴-8x³-6x²+24x-13=3（x-1）²（x+

2 10 -1

3

）（x-

2 10 +1

3

）；
③當2＜a≤

2 10 +1

3

時，
f_min（x）=0；f_max（x）=f（1）=13；
④當a＞

2 10 +1

3

時，
f_min（x）=f（0）=0；f_max（x）=f（a）=3a⁴-8a³-6a²+24a．

點評：本題考查了導數的綜合應用及分類討論的思想應用，屬于難題．