Question

若函數f（x）=x²-alnx，則f（x）在[1，+∞）上的最小值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：由題意求導f′（x）=2x-a

1

x

=

2x2-a

x

；由導數的正負確定函數的單調性，再求最值．

解答： 解：由題意，f′（x）=2x-a

1

x

=

2x2-a

x

；
故當a≤2時，在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立；
故f（x）在[1，+∞）上是增函數，
故f_min（x）=f（1）=1；
當a＞2時，f（x）在[1，

2a

2

）上是減函數，在（

2a

2

，+∞）上是增函數，
故f_min（x）=f（

2a

2

）=

a

2

-aln

2a

2

；
故答案為：1（a≤2），

a

2

-aln

2a

2

（a＞2）．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．