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已知（m，n）是
x2
9
+
y2
4
=1上的點，則
1
m2
+
1
n2
的最小值是
 
．
考點：橢圓的簡單性質
專題：圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（m，n）是橢圓上的點，所以
m2
9
+
n2
4
=1，所以可設m=3sinα，n=2cosα，所以
1
m2
+
1
n2
=
sin2α+cos2α
9sin2α
+
sin2α+cos2α
4cos2α
=
13
36
+(
cosα
3sinα
)2+(
sinα
2cosα
)2≥
25
36
，所以就求出了
1
m2
+
1
n2
的最小值．
解答： 解：由已知條件知，
m2
9
+
n2
4
=1；
∴設m=3sinα，n=2cosα；
∴
1
m2
+
1
n2
=
1
9sin2α
+
1
4cos2α
=
sin2α+cos2α
9sin2α
+
sin2α+cos2α
4cos2α
=
1
9
+
1
4
+
cos2α
9sin2α
+
sin2α
4cos2α
≥
13
36
+
1
3
=
25
36
；
當
cosα
3sinα
=
sinα
2cosα
，即tanα=±
6
3
時取“=”．
故答案為：
25
36
．
點評：考查橢圓的標準方程，以及sin2α+cos2α=1，基本不等式：a2+b2≥2ab，a=b時取“=”．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2c cosB=2a-
3
b．
（I）求C；
（Ⅱ）若cosB=
2
3
，求cosA的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，a、b、c滿足a2+b2+c2=ab+bc+ac，則△ABC一定是（　　）
A、等邊三角形
B、直角三角形
C、銳角三角形
D、鈍角三角形

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，（
2
a-c）cosB=bcosC，cos2A+1-
8
5
cosA=0，則tan（
π
4
+A）=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

P為橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上一點，F1，F2為左右焦點，若∠F1PF2=60°．
（1）求△F1PF2的面積；
（2）求P點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

求過三點A（1，4），B（-2，3），C（4，-5）的圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義域為R的奇函數f（x）在[0，3]上單調遞增，且對于任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（3-y）+f（3-x）f（y）
（1）求f（0）和f（1）的值；
（2）求證：f（x）為周期函數；
（3）求滿足不等式f（4x+1）≥
1
2
的實數x的集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）=x2-alnx，則f（x）在[1，+∞）上的最小值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a=
∫
π
2
-
π
2
cosxdx，則(ax2-
1
x
)5的二項展開式中，x的系數為
 
．

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同步練習冊答案
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