Question

已知△ABC三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2c cosB=2a-

3

b．
（I）求C；
（Ⅱ）若cosB=

2

3

，求cosA的值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（I）已知等式利用正弦定理化簡，把sinA=sin（B+C）代入并利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理求出cosC的值，即可確定出C的度數；
（Ⅱ）由cosB的值，求出sinB的值，cosA變形為-cos（B+C），利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答： 解：（I）由正弦定理得2sinCcosB=2sinA-

3

sinB，
即2sinCcosB=2sin（C+B）-

3

sinB，
∴2sinCcosB=2sinCcosB+2cosCsinB-

3

sinB，即2cosCsinB-

3

sinB=0，
∵sinB≠0，
∴2cosC-

3

=0，即cosC=

3

2

，
∵0＜C＜π，
∴C=

π

6

；
（Ⅱ）∵cosB=

2

3

，0＜C＜π，
∴sinB=

1-cos2B

=

5

3

，
∴cosA=-cos（B+C）=-（cosBcosC-sinBsinC）=-

2

3

×

3

2

+

5

3

×

1

2

=

5 -2 3

6

．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．