Question

下列說法正確的是（　　）

• A、曲線的切線和曲線的交點有且只有一個
• B、過曲線上的一點作曲線的切線，這點一定是切點
• C、若f′（x₀）不存在，則曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處無切線
• D、若y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處有切線，則f′（x₀）不一定存在

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：舉例說明選項A，B錯誤；由可導與連續(xù)的關系說明C錯誤，D正確．

解答： 解：對于A，曲線的切線和曲線的交點不一定唯一，如曲線y=x³+1在（-

1

2

，

7

8

）處的切線與曲線有另外一個交點（1，2）；
對于B，過曲線上的一點作曲線的切線，這點不一定是切點，如經(jīng)過曲線上一點但是不是在該點與曲線相切而是在其他地方相切，比如y=y=x³與y=3x-2相切于點（1，1），同時經(jīng)過點另外一點（a，b），我們就可以說過點（a，b）的直線y=3x-2與曲線y=x³相切，但切點是（1，1）而不是（a，b）；
對于C，若f′（x₀）不存在，則曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處無切線錯誤，如曲線在某點處的切線垂直于x軸，此時f′（x₀）不存在，但曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處有切線；
對于D，由曲線在一點有平行y軸的切線，且函數(shù)在該點不連續(xù)，則f′（x₀）不一定存在．
故選：D．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了可導與連續(xù)間的關系，關鍵在于學生對導數(shù)概念的理解，是中檔題．