Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，E、F分別是BC A₁A的中點．
（1）求證：EF∥平面A₁C₁B；
（2）求直線EF與平面ABB₁A₁所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）通過取BC₁的中點G，連接EG、A₁G，先證得線線平行，再由線成平行的判定定理得到線面平行；
（2）建立空間坐標系，分別求出直線EF的方向向量與平面ABB₁A₁的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答： 證明：（1）取BC₁的中點G，連接EG、A₁G，

∵E、F分別是BC A₁A的中點．
∴EG∥CC₁，且EG=

1

2

CC₁，AF∥CC₁，且AF=

1

2

CC₁，
∴EG∥AF，且EG=AF，
∴四邊形A₁GEF為平行四邊形，
∴EF∥A₁G，
∵EF?平面A₁C₁B，A₁G?平面A₁C₁B，
∴EF∥平面A₁C₁B；
（2）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，E、F分別是BC A₁A的中點．
故以C為坐標原點建立空間坐標系O-xyz，

則A（0，2，0），B（2，0，0），E（1，0，0），F（0，2，1），C₁（0，0，2），
則

EF

=（-1，2，1），

.

AA1

=（0，0，2），

AB

=（2，-2，0），
設平面ABB₁A₁的法向量為

m

=（x，y，z），
則

m • . AA1 =0 m • . AB =0

，即

2z=0 2x-2y=0

，
令x=1，則

m

=（1，1，0），
設直線EF與平面ABB₁A₁所成角為θ，
則sinθ=

| EF • m |

| EF |•| m |

=

1

6 • 2

=

3

6

故cosθ=

33

6

，
∴tanθ=

11

11

點評：本題考查的知識點是線面平行的判定定理，直線與平面的夾角，是空間線面關系的綜合應用，難度中檔．