Question

已知函數f（x）=sinxcosx-m（sinx+cosx） 
（1）若m=1，求函數在（0，

π

2

）上的單調區間；
（2）若函數在區間（

π

2

，π）上是單調遞減函數，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）m=1時，令sinx+cosx=t，可得f（t）=

1

2

（t-1）²-

3

2

，從而有

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，可解得單調遞增區間[2kπ，2kπ+

π

2

]，k∈Z．
（2）令sinx+cosx=t，有f（t）=

1

2

（t-m）²-

1

2

-

m2

2

，當t=m時，函數取得最小值，t∈（-∞，m）函數是減函數．由

2

sin（

π

2

+

π

4

）=1，

2

sin（π+

π

4

）=-1，可得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinxcosx-m（sinx+cosx），
∴m=1時，f（x）=sinxcosx-（sinx+cosx），
令sinx+cosx=t，
t∈[-

2

，

2

]，則sinxcosx=

t2-1

2

，
∴f（t）=

t2-1

2

-t=

1

2

（t²-2t）-

1

2

=

1

2

（t-1）²-1，
那么當t=1，y取得最小值=-1，
當t=-

2

，y取得最大值

1

2

+

2

，
∴t∈[1，

2

]上時單調遞增．t∈[-

2

，1]上時單調遞減，
∴1≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，有

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，
∴可解得2kπ≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z，
∴單調遞增區間[2kπ，2kπ+

π

4

]，k∈Z在[0，

π

4

]上單調遞增．
（2）令sinx+cosx=t，
t∈[-

2

，

2

]，則sinxcosx=

t2-1

2

，
∴f（t）=

t2-1

2

-mt=

1

2

（t²-2mt）-

1

2

=

1

2

（t-m）²-

1

2

-

m2

2

，
當t=m，m∈[-

2

，

2

]時，函數取得最小值，t∈（-

2

，m）函數是減函數．

sin π 2 cos π 2 -m(sin π 2 +cos π 2 )≤

x∈（

π

2

，π）時，函數是減函數，sinπcosπ-m(sinπ+cosπ)≥-

1

2

-

m2

2

，
∴m∈R．可得m∈[-

2

，

2

]．
當|m|＞

2

時，t=±

2

，函數取得最小值，可得：x=

π

4

，或x=

5π

4

不滿足題意．
綜上：m∈[-

2

，

2

]．

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的圖象與性質，函數值域的求法，考察了轉化思想，屬于中檔題．