Question

數列{a_n}中，S_n是其前n項和，若a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n（n≥1），則a₇=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：根據遞推關系，求出數列{a_n}中各項均不為0，且從第二項起構成公比為

4

3

的等比數列，即可得到結論

解答： 解：∵a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n（n≥1），
∴a_n+2=

1

3

S_n+1（n≥1），
兩式相減得a_n+2-a_n+1=

1

3

（S_n+1-S_n）=

1

3

a_n+1．
即a_n+2=

4

3

a_n+1，
∵a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n（
∴a₂=

1

3

，
∴數列{a_n}中各項均不為0，且從第二項起構成公比為

4

3

的等比數列，
∴n≥2時，a_n=

1

3

×(

4

3

)n-2，
∴a₇=

1

3

×(

4

3

)5=

1024

729

，
故答案為：

1024

729

．

點評：本題主要考查數列項的求解，根據數列的遞推關系是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．