Question

已知sin（2α-β）=

3

5

，sinβ=-

12

13

，且α∈（

π

2

，π），β∈（-

π

2

，0），求cosα的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的求值

分析：由同角三角函數的基本關系可得cosβ和cos（2α-β），由和差角公式可得cos2α，再由二倍角的余弦公式可得．

解答： 解：∵sinβ=-

12

13

，β∈（-

π

2

，0），
∴cosβ=

1-sin2β

=

1-(- 12 13 )2

=

5

13

，
又α∈（

π

2

，π），∴2α-β∈（π，

5π

2

），
又∵sin（2α-β）=

3

5

＞0，∴2α-β∈（2π，

5π

2

），
∴cos（2α-β）=

1-sin2(2α-β)

=

4

5

∴cos2α=cos[（2α-β）+β]=cos（2α-β）cosβ-sin（2α-β）sinβ
=

4

5

×

5

13

-

3

5

×(-

12

13

)=

56

65

，∴2cos²α-1=

56

65

，
解得cosα=±

11 130

130

，
∵α∈（

π

2

，π），∴cosα=-

11 130

130

點評：本題考查兩角和與差的三角函數公式，涉及二倍角公式和同角三角函數的基本關系，屬中檔題．