Question

已知函數f（x）=e^x（其中e為自然對數的底數），g（x）=

n

2

x+m（m，n∈R）．
（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1-

n

2

，求T（x）在[0，1]上的最大值；
（2）若n=4時方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有兩個相異實根，求m的取值范圍；
（3）若m=-

15

2

，n∈N^*，求使f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方的最大正整數n．[注意：7＜e²＜

15

2

]．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）T（x）=f（x）g（x）=e^x（

n

2

x+m）=e^x（

n

2

x+1-

n

2

）；求導T′（x）=e^x（

n

2

x+1）；從而確定函數的最大值；
（2）n=4時，方程f（x）=g（x）可化為m=e^x-2x；求導m′=e^x-2，從而得到函數的單調性及取值，從而求m的取值范圍；
（3）由題意，f（x）=e^x，g（x）=

n

2

x-

15

2

；故f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方可化為F（x）=f（x）-g（x）=e^x-

n

2

x+

15

2

＞0恒成立；從而化為最值問題．

解答： 解：（1）T（x）=f（x）g（x）
=e^x（

n

2

x+m）=e^x（

n

2

x+1-

n

2

）；
故T′（x）=e^x（

n

2

x+1）；
則當n≥-2時，T′（x）≥0；
故T（x）在[0，1]上的最大值為
T（1）=e（

n

2

+1）；
當n＜-2時，x∈[0，-

2

n

）時，T′（x）＞0；
x∈（-

2

n

，1]時，T′（x）＜0；
T（x）在[0，1]上的最大值為T（-

2

n

）=0；
（2）當n=4時，方程f（x）=g（x）可化為
m=e^x-2x；
m′=e^x-2，
故當x∈[0，ln2）時，m′＜0；
當x∈（ln2，2]時，m′＞0；
m（ln2）=2-2ln2；
m（0）=1，m（2）=e²-4；
故由題意知，
2-2ln＜m≤1；
（3）由題意，f（x）=e^x，g（x）=

n

2

x-

15

2

；
故f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方可化為
F（x）=f（x）-g（x）=e^x-

n

2

x+

15

2

＞0恒成立；
F′（x）=e^x-

n

2

；
故F（x）在（-∞，ln

n

2

）上是減函數，
在（ln

n

2

，+∞）上是增函數；
故可化為F（ln

n

2

）＞0；
即

n

2

（1-ln

n

2

）+

15

2

＞0；
令G（n）=

n

2

（1-ln

n

2

）+

15

2

；
故G′（n）=-

1

2

（ln

n

2

+1）＜0；
故G（n）=

n

2

（1-ln

n

2

）+

15

2

是[1，+∞）上的減函數，
而G（2e²）=-e²+

15

2

＞0；
G（14）=7（1-ln7）+

15

2

＞0；
G（15）=7.5（1-ln7.5）+

15

2

＜0；
故最大正整數n為14．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．