Question

定義函數f（x）=

4-8|x- 3 2 | ;1≤x≤2 1 2 f( x 2 ) ;x＞2

，則函數g（x）=xf（x）-6在區間[1，8]內的所有零點的和為

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由題意，f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 2-2|x-3|，2＜x≤4 1-| x 2 -3|，4＜x≤8

；從而可得函數g（x）=xf（x）-6在區間[1，8]內的所有零點y=f（x）與y=

6

x

的交點的橫坐標，作圖求解．

解答： 解：由題意，
當2＜x≤4時，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=2-4|

x

2

-

3

2

|
=2-2|x-3|；
當4＜x≤8時，f（x）=

1

2

f（

x

2

）=1-|

x

2

-3|；
故f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 2-2|x-3|，2＜x≤4 1-| x 2 -3|，4＜x≤8

；
函數g（x）=xf（x）-6在區間[1，8]內的所有零點即
xf（x）-6=0在區間[1，8]內的所有解；
即y=f（x）與y=

6

x

的交點的橫坐標，
作y=f（x）與y=

6

x

的圖象如下，

故所有的零點為

3

2

，3，6；

3

2

+3+6=10.5；
故答案為：10.5．

點評：本題考查了學生的作圖能力及絕對值函數的應用，屬于基礎題．