Question

設函數f（x）=|x+2|-|x-2|
（I）解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）當x∈R，0＜y＜1時，證明：|x+2|-|x-2|≤

1

y

+

1

1-y

．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,證明題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）運用絕對值的定義，去掉絕對值，得到分段函數，再由各段求范圍，最后求并集即可；
（II）由分段函數可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得

1

y

+

1

1-y

的最小值，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：由已知可得：f(x)=

4，x≥2 2x，-2＜x＜2  -4，   x≤-2

，
由x≥2時，4＞2成立；-2＜x＜2時，2x≥2，即有x≥1，則為1≤x＜2．
所以，f（x）≥2的解集為{x|x≥1}；
（II）證明：由（Ⅰ）知，|x+2|-|x-2|≤4，
由于0＜y＜1，
則

1

y

+

1

1-y

=（

1

y

+

1

1-y

）[y+（1-y）]=2+

1-y

y

+

y

1-y

≥2+2=4，
則有|x+2|-|x-2|≤

1

y

+

1

1-y

．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意轉化為函數的最值，考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．