Question

已知tanα，tanβ是一元二次方程3x²+5x-2=0的兩根，且α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），
（1）求cos（α-β）的值；
（2）求α+β的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數,同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：（1）通過方程的根，求出α、β的正切函數值，利用兩角和的正切函數，求出正切函數值，通過角的范圍，求cos（α-β）的值；
（2）利用（1）的結果求出α+β的正切函數值，通過角的范圍求解角的大小即可．

解答： 解：（1）一元二次方程3x²+5x-2=0的兩根為-2和

1

3

，α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），
∴tanβ=-2，tanα=

1

3

--（2分）
∴tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=7，
α-β∈(-π，-

π

2

)
∴cos（α-β）=-

cos2(α-β) cos2(α-β)+sin2(α-β)

=-

1 1+tan2(α-β)

=-

2

10

-------（6分）
（2）∵tanβ=-2，tanα=

1

3

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=-1，-----------------------（8分）
∵α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），
∴α+β∈(

π

2

，

3π

2

)------（10分），
∴α+β=

3π

4

--------------（12分）

點評：不考查兩角和的正切函數的應用，三角函數的化簡求值，注意角的范圍的求法，考查分析問題解決問題的能力．