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函數f(x)=lnx-ax2(a∈R).
(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間;
(Ⅱ)當a=
1
8
時,證明:存在x0∈(2,+∞),使f(x0)=f(1).
考點:利用導數研究函數的單調性
專題:計算題,證明題,導數的綜合應用
分析:(Ⅰ)先求函數f(x)=lnx-ax2的定義域為(0,+∞);再求導f′(x)=
1
x
-2ax=
-2ax2+1
x
;根據導數的正負討論函數的單調性;
(Ⅱ)可證明f(x)在(2,+∞)上是減函數,且f(2)=ln2-
1
2
>0,x→+∞時,f(x)→-∞;從而證明.
解答: 解:(Ⅰ)函數f(x)=lnx-ax2的定義域為(0,+∞);
∵f′(x)=
1
x
-2ax=
-2ax2+1
x

∴①當a≤0時,f′(x)>0,
函數f(x)的單調增區間為(0,+∞);
②當a>0時,f′(x)>0時有0<x<
2a
2a

f′(x)<0時有x>
2a
2a

函數f(x)的單調增區間為(0,
2a
2a
),單調減區間為(
2a
2a
,+∞);
(Ⅱ)證明:當a=
1
8
時,f(x)=lnx-
1
8
x2
f(1)=0-
1
8
=-
1
8

f′(x)=-
(x+2)(x-2)
4x

故f(x)在(2,+∞)上是減函數,
又∵f(2)=ln2-
1
2
>0,且x→+∞時,f(x)→-∞;
故存在x0∈(2,+∞),使f(x0)=f(1).
點評:本題考查了導數的綜合應用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知兩條直線l1:ax+by-2=0,l2:(a+1)x-y-2b=0,求分別滿足下列條件的a,b的值:
(1)直線l1過點(-2,1),并且直線l1與l2垂直;
(2)直線l1與l2平行,并且坐標原點到l1,l2的距離相等.

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科目:高中數學 來源: 題型:

若3sinα+cosα=0,則
1
cos2α+2sinαcosα
的值為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

某地方政府在某地建一座橋,兩端的橋墩相距m米,此工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩(包括兩端的橋墩),經預測,一個橋墩的費用為32萬元,相鄰兩個橋墩之間的距離均為x,且相鄰兩個橋墩之間的橋面工程費用為(1+x)x萬元,假設所有橋墩都視為點且不考慮其它因素,記工程總費用為y萬元.
(1)試寫出y關于x的函數關系式;
(2)當m=80米時,需要新建多少個橋墩才能使y最小?

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知sin(2α-β)=
3
5
,sinβ=-
12
13
,且α∈(
π
2
,π),β∈(-
π
2
,0),求cosα的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

若直線2ax+by-2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2-2x-4y-4=0截得的弦長為6,m=b+
2
a
,n=a+
1
2b
,則m+n的最小值為.
A、
9
2
B、5
C、
11
2
D、6

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科目:高中數學 來源: 題型:

數列{an}滿足a1=1,a2=
1
2
,并且{an}滿足an(an-1+an+1)=2an+1an-1(n≥2)則數列{an}的第2014項為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f (x)=ax-ex(a∈R),g(x)=
1nx
x

(I)求函數f (x)的單調區間;
(Ⅱ)?x0∈(0,+∞),使不等式f (x)≤g(x)-ex成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知A(2,1),B(1,-2),C(
3
5
,-
1
5
),動點P(a,b)滿足0≤
OP
OA
≤2且0≤
OP
OB
≤2,則點P到點C的距離大于
1
4
的概率為
 

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