Question

已知函數f （x）=ax-e^x（a∈R），g（x）=

1nx

x

．
（I）求函數f （x）的單調區間；
（Ⅱ）?x₀∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）-e^x成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）f′（x）=a-e^x，x∈R．對a分類討論，利用導數研究函數的單調性即可得出；
（Ⅱ）由?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）-e^x，即a≤

lnx

x2

．設h（x）=

lnx

x2

，則問題轉化為a≤(

lnx

x2

)max，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=a-e^x，x∈R．
當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在R上單調遞減；
當a＞0時，令f′（x）=0得x=lna．
由f′（x）＞0得f（x）的單調遞增區間為（-∞，lna）；
由f′（x）＜0得f（x）的單調遞減區間為（lna，+∞）．
（Ⅱ）∵?x₀∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）-e^x，則ax≤

lnx

x

，即a≤

lnx

x2

．
設h（x）=

lnx

x2

，則問題轉化為a≤(

lnx

x2

)max，
由h′（x）=

1-2lnx

x3

，令h′（x）=0，則x=

e

．
當x在區間（0，+∞） 內變化時，h′（x）、h（x）變化情況如下表：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
h′（x）	+	0	-
h（x）	單調遞增	極大值 1 2e	單調遞減

由上表可知，當x=

e

時，函數h（x）有極大值，即最大值為

1

2e

．
∴a≤

1

2e

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．