Question

已知A（2，1），B（1，-2），C（

3

5

，-

1

5

），動(dòng)點(diǎn)P（a，b）滿足0≤

OP

•

OA

≤2且0≤

OP

•

OB

≤2，則點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離大于

1

4

的概率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式將不等式進(jìn)行化簡，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵A（2，1），B（1，-2），C（

3

5

，-

1

5

），
∴動(dòng)點(diǎn)P（a，b）滿足0≤

OP

•

OA

≤2且0≤

OP

•

OB

≤2，
∴

0≤2a+b≤2 0≤a-2b≤2

，
z=（a-

3

5

）²+（b+

1

5

）²＞

1

16

，
∴作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
∵點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離大于

1

4

，
∴|CP|＞

1

4

，則對(duì)應(yīng)的部分為陰影部分，
由

a-2b=0 2a+b=2

解得

a= 4 5 b= 2 5

，
即E（

4

5

，

2

5

），|OE|=

( 4 5 )2+( 2 5 )2

=

2 5

5

，
∴正方形OEFG的面積為

4

5

，
則陰影部分的面積為

4

5

-

1

16

π，
∴根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率為

4 5 - 1 16 π

4 5

=1-

5π

64

，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型的概率公式的計(jì)算，利用數(shù)量積將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求出相應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵．