Question

3．已知離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$的雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，若線段OF的垂直平分線與雙曲線一條漸近線的交點到另一條漸近線的距離為λc（c為半焦距，λ＞0），則實數λ的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 求出F（c，0），不妨設線段OF的垂直平分線x=$\frac{c}{2}$與漸近線y=$\frac{b}{a}x$的交點為（$\frac{c}{2}，\frac{bc}{2a}$），它到另一條漸近線的距離為$\frac{\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=λc．然后求解λ．

解答 解：由題意，得F（c，0），
不妨設線段OF的垂直平分線x=$\frac{c}{2}$與漸近線y=$\frac{b}{a}x$的交點為（$\frac{c}{2}，\frac{bc}{2a}$），
因此它到另一條漸近線y=-$\frac{b}{a}x$，即bx+ay=0的距離為$\frac{\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=λc．
又由$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$與c²=a²+b²可得b=$\frac{1}{2}c$，
所以$λ=\frac{1}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，直線與雙曲線的位置關系，考查計算能力．