Question

12．不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集為∅，則實數a的取值范圍是{a|a=0，或a≤-1}．

Answer 1

分析 分a=0、a＞0、a＜0三種情況，分別檢驗是否滿足條件，從而得出結論．

解答 解：∵不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集為∅，
①當a=0時，由于ax＞0無解，不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集為∅，滿足條件．
②當a＞0時，由ax＞0求得x＞0；由x+a+1＞0，求得x＞-a-1，故不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集為{ x|x＞0}≠∅，故不滿足條件．
③當a＜0時，由ax＞0求得x＜0；由x+a+1＞0，求得x＞-a-1，
若-a-1≥0，即a≤-1時，不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集為∅，滿足條件；
若-a-1＜0，即0＞a＞-1時，不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集為{x|-a-1＜x＜0}≠∅，不滿足條件，
綜上可得實數a的取值范圍是{a|a=0，或a≤-1}，
故答案為：{a|a=0，或a≤-1}．

點評 本題主要考查不等式組的解法，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．