Question

17．已知z∈C，i是虛數單位，$\overline{z}$是z的共軛復數，則下列說法與“z為純虛數”不等價的是（　　）

• A． z²＜0
• B． $z+\overline{z}=0$
• C． Rez=0且 Imz≠0
• D． z=|z|i或z=-|z|i，且|z|≠0

Answer 1

分析 由復數的基本概念逐一核對四個命題得答案．

解答 解：若z為純虛數，則z=bi（b∈R且b≠0），則z²=-b²＜0，反之，若z²＜0，則z為純虛數，∴z²＜0與“z為純虛數”等價；
當z為實數時，有$z+\overline{z}=0$，∴由$z+\overline{z}=0$與“z為純虛數”不等價；
Rez=0且 Imz≠0與“z為純虛數”等價；
令z=a+bi（a，b∈R），則|z|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，由z=|z|i或z=-|z|i，得a=0，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=±b$，
又|z|≠0，∴b≠0．
即z=|z|i或z=-|z|i，且|z|≠0與“z為純虛數”等價．
故選：B．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查復數的基本概念，是中檔題．