Question

2．設(shè)關(guān)于x的方程2x²-ax-2=0的兩根分別為α、β（α＜β），函數(shù)$f（x）=\frac{4x-a}{{{x^2}+1}}$
（1）證明f（x）在區(qū)間（α，β）上是增函數(shù)；
（2）當a為何值時，f（x）在區(qū)間[α，β]上的最大值與最小值之差最小．

Answer 1

分析 （1）設(shè)Φ（x）=2x²-ax-2，則當α＜x＜β時，Φ（x）＜0，利用f′（x）的符號進行判定函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）運用方程的根，求得f（α）•f（β）=$\frac{-64}{{a}^{2}+16-{a}^{2}}$=-4＜0，可知函數(shù)f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，而f（α）•f（β）=-4，則當f（β）=-f（α）=2時，f（β）-f（α）取最小值，從而得到結(jié)論．

解答 解：（1）證明：設(shè)Φ（x）=2x²-ax-2，則當α＜x＜β時，Φ（x）＜0．
f′（x）=$\frac{4（{x}^{2}+1）-2x（4x-a）}{（1+{x}^{2}）^{2}}$=-$\frac{2（2{x}^{2}-ax-2）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在（α，β）上是增函數(shù)．
（2）由關(guān)于x的方程2x²-ax-2=0的兩根分別為α、β（α＜β），
可得α=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+16}}{4}$，β=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+16}}{4}$，
f（α）=$\frac{4α-a}{{α}^{2}+1}$=$\frac{-8}{\sqrt{{a}^{2}+16}-a}$，f（β）=$\frac{8}{\sqrt{{a}^{2}+16}+a}$，
即有f（α）•f（β）=$\frac{-64}{{a}^{2}+16-{a}^{2}}$=-4＜0，
函數(shù)f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，
∴當且僅當f（β）=-f（α）=2時，
f（β）-f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，
此時a=0，f（β）=2．
當a=0時，f（x）在區(qū)間[α，β]上的最大值與最小值之差最小．

點評 本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及函數(shù)單調(diào)性的判定和函數(shù)最值等有關(guān)知識，同時考查了計算能力，屬于中檔題．