Question

16．點P為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$右支上的一點，其左、右焦點分別為F₁，F₂，若△PF₁F₂的內切圓I與x軸相切于點A，過F₂作PI的垂線，重足為B，O為坐標原點，那么$\frac{{|{OA}|}}{{|{OB}|}}$的值為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{b}{a}$
• D． $\frac{a}{b}$

Answer 1

分析 根據題意，利用切線長定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉化為|AF₁|-|AF₂|=2a，從而求得點H的橫坐標．再在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個等腰三角形，從而在三角形F₁CF₂中，利用中位線定理得出OB，從而解決問題．

解答 解：F₁（-c，0）、F₂（c，0），內切圓與x軸的切點是點A
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，及圓的切線長定理知，
|AF₁|-|AF₂|=2a，設內切圓的圓心橫坐標為x，
則|（x+c）-（c-x）|=2a
∴x=a；
|OA|=a，
在△PCF₂中，由題意得，F₂B⊥PI于B，延長交F₁F₂于點C，利用△PCB≌△PF₂B，可知|PC|=|PF₂|，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
丨OB丨=$\frac{1}{2}$丨CF₁丨=$\frac{1}{2}$（丨PF₁丨-丨PC丨）=$\frac{1}{2}$（丨PF₁丨-丨PF₂丨）=$\frac{1}{2}$×2a=a．
∴|OB|=|OA|．
$\frac{{|{OA}|}}{{|{OB}|}}$=1
故選A．

點評 本題考查雙曲線的定義、切線長定理．解答的關鍵是充分利用平面幾何的性質，如三角形內心的性質等，屬于中檔題．