Question

1．已知函數f（x）=|lnx|，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，0＜x≤1}\\{|{x}^{2}-4|-2，x＞1}\end{array}\right.$則方程|f（x）-g（x）|=2的實根個數為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 當0＜x≤1時，化簡方程|f（x）-g（x）|=2為|lnx|=2，方程有1實根；當x＞1時，方程|f（x）-g（x）|=2為||lnx|-|x²-4|+2|=2，整理得|x²-4|=lnx或|x²-4|=lnx+4．
令${y}_{1}=|{x}^{2}-4|$，y₂=lnx，y₃=lnx+4．作出函數圖象，數形結合得答案．

解答 解：當0＜x≤1時，方程|f（x）-g（x）|=2為|lnx|=2，解得x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，方程有1實根；
當x＞1時，方程|f（x）-g（x）|=2為||lnx|-|x²-4|+2|=2，即|lnx-|x²-4|+2|=2，
∴||x²-4|-lnx-2|=2，去絕對值得：|x²-4|=lnx或|x²-4|=lnx+4．
令${y}_{1}=|{x}^{2}-4|$，y₂=lnx，y₃=lnx+4．
作出函數圖象如圖：

由圖可知，方程|x²-4|=lnx有2實根，方程|x²-4|=lnx+4 有1實根．
綜上，方程|f（x）-g（x）|=2的實根個數為4．
故選：D．

點評 本題考查根的存在性與根的個數判斷，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，是中檔題．