Question

19．某校舉辦“中國詩詞大賽”活動，某班派出甲乙兩名選手同時參加比賽．大賽設有15個詩詞填空題，其中“唐詩”、“宋詞”和“毛澤東詩詞”各5個．每位選手從三類詩詞中各任選1個進行作答，3個全答對選手得3分，答對2個選手得2分，答對1個選手得1分，一個都沒答對選手得0分．已知“唐詩”、“宋詞”和“毛澤東詩詞”中甲能答對的題目個數依次為5，4，3，乙能答對的題目個數依此為4，5，4，假設每人各題答對與否互不影響，甲乙兩人答對與否也互不影響．
求：
（Ⅰ）甲乙兩人同時得到3分的概率；
（Ⅱ）甲乙兩人得分之和ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用相互獨立事件的概率公式求出甲、乙兩人同時得3分的概率；
（Ⅱ）根據甲、乙兩人得分之和的可能取值，計算對應的概率，
寫出ξ的分布列，計算數學期望值．

解答 解：（Ⅰ）設事件A_i為甲得分為i分（i=1，2，3），
事件B_i為乙得分為i分（i=1，2，3），
則$P（{A_1}）=\frac{1}{5}×\frac{2}{5}=\frac{2}{25}$，
$P（{A_2}）=\frac{4}{5}×\frac{2}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{5}=\frac{11}{25}$，
$P（{A_3}）=\frac{4}{5}×\frac{3}{5}=\frac{12}{25}$，
$P（{B_1}）=\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$，
$P（{B_2}）=\frac{1}{5}×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{5}=\frac{8}{25}$，
$P（{B_3}）=\frac{4}{5}×\frac{4}{5}=\frac{16}{25}$；
又甲、乙兩人同時得3分為事件A₃•B₃，
則$P（{A_3}•{B_3}）=\frac{12}{25}×\frac{16}{25}=\frac{192}{625}$； （5分）
（Ⅱ）甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為2，3，4，5，6；
則$P（ξ=2）=P（{A_1}•{B_1}）=\frac{2}{25}×\frac{1}{25}=\frac{2}{625}$，
$P（ξ=3）=P（{A_1}•{B_2}）+P（{A_2}•{B_1}）=\frac{2}{25}×\frac{8}{25}+\frac{11}{25}×\frac{1}{25}=\frac{27}{625}$，
$P（ξ=4）=P（{A_1}•{B_3}）+P（{A_2}•{B_2}）+P（{A_3}•{B_1}）=\frac{2}{25}×\frac{16}{25}+\frac{11}{25}×\frac{8}{25}+\frac{12}{25}×\frac{1}{25}=\frac{132}{625}$，
$P（ξ=5）=P（{A_2}•{B_3}）+P（{A_3}•{B_2}）=\frac{11}{25}×\frac{16}{25}+\frac{12}{25}×\frac{8}{25}=\frac{272}{625}$，
$P（ξ=6）=P（{A_3}•{B_3}）=\frac{12}{25}×\frac{16}{25}=\frac{192}{625}$；（10分）
所以ξ的分布列為

ξ	2	3	4	5	6
P	$\frac{2}{625}$	$\frac{27}{625}$	$\frac{132}{625}$	$\frac{272}{625}$	$\frac{192}{625}$

（11分）
所以ξ的數學期望為
$：Eξ=\frac{4}{625}+\frac{81}{625}+\frac{528}{625}+\frac{1260}{625}+\frac{1152}{625}=\frac{3125}{625}=5$．（12分）

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是中檔題．