Question

3．已知函數f（x）=2^x+2^ax-b（a，b∈R）滿足f（-2）=$\frac{17}{4}$，f（3）=$\frac{65}{8}$．
（1）判斷并證明函數f（x）在（-∞，0]上的單調性；
（2）若不等式f（x）-2t≥0對于?x∈（-∞，+∞）恒成立，求實數t的最大值．

Answer 1

分析 （1）依題意，由f（-2）=$\frac{17}{4}$，f（3）=$\frac{65}{8}$，即$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-2}{+2}^{-2a-b}=\frac{17}{4}}\\{{2}^{3}{+2}^{3a-b}=\frac{65}{8}}\end{array}\right.$可求得a、b的值，從而可知f（x）=2^x+2^-x，可判斷函數f（x）在（-∞，0]上單調遞減，利用導數法即可證明之；
（2）若將等式f（x）-2t≥0對于?x∈（-∞，+∞）恒成立轉化為t≤$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）_min，利用基本不等式可求得$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）_min=1，從而可求實數t的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=2^x+2^ax-b（a，b∈R）滿足f（-2）=$\frac{17}{4}$，f（3）=$\frac{65}{8}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-2}{+2}^{-2a-b}=\frac{17}{4}}\\{{2}^{3}{+2}^{3a-b}=\frac{65}{8}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴f（x）=2^x+2^-x，
f（x）在（-∞，0]上單調遞減．
證明：∵x≤0，∴0＜2^x≤1，2^-x≥1，
∴f′（x）=ln2（2^x-2^-x）≤0，
∴函數f（x）在（-∞，0]上的單調遞減；
（2）∵f（x）=2^x+2^-x，
∴不等式f（x）-2t≥0對于?x∈（-∞，+∞）恒成立?t≤$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）_min，
∵f（-x）=2^x+2^-x≥2$\sqrt{{2}^{x}{•2}^{-x}}$=2（當且僅當x=0時取等號），
∴$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）_min=1，
∴t≤1，
即實數t的最大值為1．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查指數函數的單調性與函數的奇偶性，考查函數與方程思想及運算求解能力，屬于中檔題．