Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，橢圓C的一個短軸端點與拋物線x²=4y的焦點重合．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C右焦點的直線l交橢圓于A，B兩點，若以AB為直徑的圓過原點，求直線l方程．

Answer 1

分析 （1）由拋物線x²=4y的焦點坐標為（0，1），則b=1，根據離心率公式，即可求得a的值，求得橢圓的標準方程；
（2）橢圓右焦點為$（\sqrt{3}，0）$．由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．若直線AB的斜率不存在，代入不成立，當斜率存在，直線AB的方程為$y=k（x-\sqrt{3}）$．代入拋物線方程，由韋達定理及向量數量積的坐標表示，即可求得k的值，求得直線直線l方程．

解答 解：（1）由題意：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
由拋物線x²=4y的焦點坐標為（0，1），
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=1，解得：a=2，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）由（1）知a²=4，b²=1，則$c=\sqrt{3}$，
∴橢圓右焦點為$（\sqrt{3}，0）$．
∵以AB為直徑的圓過原點，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．
若直線AB的斜率不存在，則直線AB的方程為$x=\sqrt{3}$．
直線AB交橢圓于$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}），（\sqrt{3}，-\frac{1}{2}）$兩點，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=3-\frac{1}{4}≠0$，不合題意．
若直線AB的斜率存在，設斜率為k，則直線AB的方程為$y=k（x-\sqrt{3}）$．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-\sqrt{3}）\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.$，整理得：$（1+4{k^2}）{x^2}-8\sqrt{3}{k^2}x+12{k^2}-4=0$．
由于直線AB過橢圓右焦點，可知△＞0．
由韋達定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{8\sqrt{3}{k^2}}}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{12{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，
${y_1}{y_2}={k^2}（{x_1}-\sqrt{3}）（{x_2}-\sqrt{3}）={k^2}[{x_1}{x_2}-\sqrt{3}（{x_1}+{x_2}）+3]=\frac{{-{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{12{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}+（\frac{{-{k^2}}}{{1+4{k^2}}}）=\frac{{11{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$．
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即$\frac{{11{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}=0$，可得${k^2}=\frac{4}{11}，k=±\frac{{2\sqrt{11}}}{11}$．
∴直線l方程為$y=±\frac{{2\sqrt{11}}}{11}（x-\sqrt{3}）$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．