Question

18．中國人口已經(jīng)出現(xiàn)老齡化與少子化并存的結(jié)構(gòu)特征，測算顯示中國是世界上人口老齡化速度最快的國家之一，再不實施“放開二胎”新政策，整個社會將會出現(xiàn)一系列的問題，若某地區(qū)2015年人口總數(shù)為45萬，實施“放開二胎”新政策后專家估計人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：從2016年開始到2025年每年人口比上年增加0.5萬人，從2026年開始到2035年每年人口為上一年的99%．
（1）求實施新政策后，從2016年開始到2035年，第n年的人口總數(shù)a_n的表達(dá)式；
（2）若新政策實施后的2016年到2035年人口平均值超過49萬，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實施，問到2035年后是否需要調(diào)整政策？（說明：0.99¹⁰=（1-001）¹⁰≈0.9）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)從2016年開始到2025年每年人口比上年增加0.5萬人，從2026年開始到2035年每年人口為上一年的99%，可得分段函數(shù)；
（2）從2016年到2035年共20年，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式，可求S₂₀，從而可得新政策實施到2035年年人口均值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)n≤10時，數(shù)列{a_n}是首項為45.5，公差為0.5的等差數(shù)列，
∴a_n=45.5+0.5×（n-1）=45+0.5n              …（2分）
當(dāng)n≥11時，數(shù)列{a_n}是以公比為0.99的等比數(shù)列，又a_n=50
∴a_n=50×0.99^n-10                                        …（4分）
因此，新政策實施后第n年的人口總數(shù)a_n（單位：萬元）的表達(dá)式為
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{45+0.5n，1≤n≤10}\\{50×0.9{9}^{n-10}，11≤n≤20}\end{array}\right.$     …（6分）
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，則從2016年到2035年共20年，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式得：
S₂₀=S₁₀+（a₁₁+a₁₂+1+a₂₀）=477.5+4950×（1-0.99¹⁰）≈972.5萬…（10分）
（說明：0.99¹⁰=（1-0.01）¹⁰≈0.9）
∴新政策實施到2035年年人口均值為$\frac{{S}_{20}}{20}$≈48.62 萬             …（12分）
由$\frac{{S}_{20}}{20}$＜49，故到2035年不需要調(diào)整政策．       …（12分）

點評 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查利用數(shù)列知識解決實際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．