Question

1．已知數列{a_n}，其前n項和為S_n．
（1）若{a_n}是公差為d（d＞0）的等差數列，且{$\sqrt{{S}_{n}+n}$}也為公差為d的等差數列，求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}對任意m，n∈N^*，且m≠n，都有$\frac{2{S}_{m+n}}{m+n}$=a_m+a_n+$\frac{{a}_{m}-{a}_{n}}{m-n}$，求證：數列{a_n}是等差數列．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式及前n項和公式表示出a_n與S_n，代入驗證即可確定出數列{a_n}的通項公式；
（2）令m=2，n=1確定出a₁，a₂，a₃成等差數列，再利用數學歸納法證明對于一切n≥3的自然數，數列{a_n}是等差數列即可．

解答 解：（1）根據題意得：a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
∴$\sqrt{{S}_{n}+n}$=$\sqrt{n（{a}_{1}+\frac{n-1}{2}d+1）}$成等差數列，公差為d，
∴$\sqrt{{S}_{n}+n}$=dn，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+1-\fracp9vv5xb5{2}=0}\\{\sqrt{\fracp9vv5xb5{2}}=d}\end{array}\right.$，
解得：d=$\frac{1}{2}$，a₁=-$\frac{3}{4}$，
則a_n=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{4}$；
（2）令m=2，n=1，則$\frac{2{S}_{3}}{3}$=2a₂，即$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}{3}$=a²，
整理得：a₁+a₃=2a₂，即a₁，a₂，a₃成等差數列，
下面用數學歸納法證明{a_n}成等差數列，
假設a₁，a₂，…，a_k成等差數列，其中k≥3，公差為d，
則令m=k，n=1，$\frac{2{S}_{k+1}}{k+1}$=a_k+a₁+d，
∴2Sk+1=（k+1）（a_k+a₁+d）=k（a_k+a₁）+a₁+a_k+（k+1）d=2S_k+a₁+a_k+（k+1）d，
∴2a_k+1=a₁+a_k+（k+1）d=2（a₁+kd），即a_k+1=a₁+kd，
∴a₁，a₂，…，a_k，a_k+1成等差數列，
則對于一切自然數，數列{a_n}是等差數列．

點評 此題考查了等差數列的性質，以及等差關系的確定，熟練掌握等差數列的性質是解本題的關鍵．