Question

9．已知函數f（x）=e^x+$\frac{1}{ax}$（a≠0，x≠0）在x=1處的切線與直線（e-1）x-y+2017=0平行．
（Ⅰ）求a的值并討論函數y=f（x）在x∈（-∞，0）上的單調性．
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$-x+m+1（m為常數）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂）．?求實數m的取值范圍；
?求證：x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）根據函數的單調性求出函數的最小值，求出m的范圍，作差得到$g（{x_1}）-g（-{x_2}）=g（{x_2}）-g（-{x_2}）={e^{x_2}}-{e^{-{x_2}}}-2{x_2}$，令m（x）=e^x-e^-x-2x（x＞0），根據函數的單調性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）={e^x}-\frac{1}{{a{x^2}}}$，
∴$f'（1）=e-\frac{1}{a}=e-1$，∴a=1，
∴$f'（x）={e^x}-\frac{1}{x^2}=\frac{{{x^2}{e^x}-1}}{x^2}$，
令h（x）=x²e^x-1，h'（x）=（2x+x²）e^x，
h（x）在（-∞，-2）上單調遞增，在（-2，0）上單調遞減，
所以x∈（-∞，0）時，$h（x）≤h（-2）=\frac{4}{e^2}-1＜0$，
即x∈（-∞，0）時，f'（x）＜0，
所以函數y=f（x）在x∈（-∞，0）上單調遞減．
（Ⅱ）?由條件可知，g（x）=e^x-x+m+1，g'（x）=e^x-1，
∴g（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
要使函數有兩個零點，則g（x）_min=g（0）=m+2＜0，∴m＜-2．
?證明：由上可知，x₁＜0＜x₂，∴-x₂＜0，
∴$g（{x_1}）-g（-{x_2}）=g（{x_2}）-g（-{x_2}）={e^{x_2}}-{e^{-{x_2}}}-2{x_2}$，
令m（x）=e^x-e^-x-2x（x＞0），則m'（x）=e^x+e^-x-2＞0，
所以m（x）＞m（0）即g（x₁）＞g（-x₂）
又g（x）在（-∞，0）上單調遞減，
所以x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．