Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其左、右焦點分別為F₁，F₂，左、右頂點分別為A₁，A₂，上、下頂點分別為B₁，B₂，四邊形A₁B₁A₂B₂面積和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點，OM⊥ON（其中O為坐標原點），求直線l被以線段F₁，F₂為直徑的圓截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）由四邊形A₁B₁A₂B₂面積4，得ab=2，由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此求出a，b，從而能求出橢圓C的方程．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用弦長公式、根的判別式、直線垂直、圓的性質，結合已知條件，能求出直線l被圓O截得的弦長．

解答 解：（1）∵四邊形A₁B₁A₂B₂與四邊形F₁B₁F₂B₂的面積為4．
∴$\frac{1}{2}$×2a×2b=4，∴ab=2，
∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，結合a²=b²+c²，得c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，b=$\frac{1}{2}a$，（2分）
∴a²=4，則b=1，∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．（5分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則△=64k²m²-4（4k²+1）（4m²-4）＞0，
即m²＜4k²+1，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{km}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，（8分）
則${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$，
由OM⊥ON，得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=0，即（k²+1）•$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$+km•（-$\frac{8km}{4{k}^{2}+1}$）+m²=0，
整理可得${m}^{2}=\frac{4{k}^{2}+4}{5}$，即|m|=$\frac{2\sqrt{5}•\sqrt{{k}^{2}+1}}{5}$，①
把①代入m^2＜4k²+1，得，該不等式恒成立．（10分）
以F₁F₂為直徑的圓的圓心為（0，0），半徑為$\sqrt{3}$．
圓心O到直線l的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則直線l被圓O截得的弦長為：2$\sqrt{3-\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{55}}{5}$．（12分）

點評 本題考查橢圓方程求法，考查弦長的求法，考查橢圓、韋達定理、根的判別式、直線方程、弦長公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．