Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{a}$=1（a＞0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+2}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-4}$=1有相同的焦點，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根據題意，由雙曲線的方程分析可得雙曲線的焦點在x軸上，且c=$\sqrt{6}$，又由題意，橢圓與雙曲線有相同的焦點，則有a²＞a＞0且a²-a=6，解可得a的值，即可得橢圓的方程，由橢圓的離心率公式，計算可得答案．

解答 解：根據題意，雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+2}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-4}$=1，
必有m²+2＞0，而m²-4＜0，
其焦點在x軸上，且c=$\sqrt{{（m}^{2}+2）-（{m}^{2}-4）}$=$\sqrt{6}$，
若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{a}$=1（a＞0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}+2}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-4}$=1有相同的焦點，
則有a²＞a＞0且a²-a=6，
解可得a=3或-2（舍），
故橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
則其離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
故選：C．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的標準方程，關鍵是求出雙曲線的焦點坐標．