Question

16．設函數f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．
（1）討論函數y=f（x）•g（x）的奇偶性；
（2）當b=0時，判斷函數y=$\frac{g（x）}{{f}^{2}（x）}$在（-1，1）上的單調性，并說明理由；
（3）設h（x）=|af²（x）-$\frac{g（x）}{a}$|，若h（x）的最大值為2，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得y=f（x）•g（x）=a（x+b）$\sqrt{1-{x}^{2}}$，討論b=0，b＜0，運用奇偶性的定義，即可判斷；
（2）當b=0時，函數y=$\frac{g（x）}{{f}^{2}（x）}$=$\frac{ax}{1-{x}^{2}}$在（-1，1）遞增．運用單調性的定義證明，注意取值、作差和變形、定符號和下結論；
（3）求出h（x）=|af²（x）-$\frac{g（x）}{a}$|=|-ax²-x+a-b|，對稱軸為x=-$\frac{1}{2a}$≤-$\frac{1}{2}$，討論當-1≤-$\frac{1}{2a}$≤-$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$≤a≤1時，-$\frac{1}{2a}$＜-1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，求出端點處的函數值和頂點處的函數值，比較可得最大值，再由對勾函數的單調性和一次函數的單調性，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．
可得y=f（x）•g（x）=a（x+b）$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
①當b=0時，f（x）•g（x）=ax$\sqrt{1-{x}^{2}}$，-1≤x≤1，
由f（-x）g（-x）=-ax$\sqrt{1-{x}^{2}}$=-f（x）•g（x），
則函數y=f（x）g（x）為奇函數；
②當b＜0時，f（x）•g（x）=a（x+b）$\sqrt{1-{x}^{2}}$，-1≤x≤1，
由f（-$\frac{1}{2}$）g（-$\frac{1}{2}$）=a（-$\frac{1}{2}$+b）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）g（$\frac{1}{2}$）=a（$\frac{1}{2}$+b）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得f（-$\frac{1}{2}$）g（-$\frac{1}{2}$）≠-f（$\frac{1}{2}$）g（$\frac{1}{2}$），且f（-$\frac{1}{2}$）g（-$\frac{1}{2}$）≠f（$\frac{1}{2}$）g（$\frac{1}{2}$），
則函數y=f（x）g（x）為非奇非偶函數；
（2）當b=0時，函數y=$\frac{g（x）}{{f}^{2}（x）}$=$\frac{ax}{1-{x}^{2}}$在（-1，1）遞增．
理由：任取x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1，
可得1+x₁x₂＞0，（1-x₁²）（1-x₂²）＞0，
則y₁-y₂=$\frac{a{x}_{1}}{1-{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{a{x}_{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+{x}_{1}{x}_{2}）}{（1-{{x}_{1}}^{2}）（1-{{x}_{2}}^{2}）}$＜0，
可得y₁＜y₂，
即函數y=$\frac{g（x）}{{f}^{2}（x）}$=$\frac{ax}{1-{x}^{2}}$在（-1，1）遞增．
（3）h（x）=|af²（x）-$\frac{g（x）}{a}$|=|-ax²-x+a-b|，對稱軸為x=-$\frac{1}{2a}$≤-$\frac{1}{2}$，
①當-1≤-$\frac{1}{2a}$≤-$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$≤a≤1時，
h（1）=|1+b|，h（-1）=|1-b|=1-b，h（-$\frac{1}{2a}$）=a+$\frac{1}{4a}$-b，
h（x）_max=max{h（1），h（-1），h（-$\frac{1}{2a}$）}，
a+$\frac{1}{4a}$-b在$\frac{1}{2}$≤a≤1時遞增，可得a+$\frac{1}{4a}$-b∈[1-b，$\frac{5}{4}$-b]，
即有h（x）_max=a+$\frac{1}{4a}$-b=2，
可得a+b=2a+$\frac{1}{4a}$-2在$\frac{1}{2}$≤a≤1遞增，可得
a+b∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]；
②-$\frac{1}{2a}$＜-1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$時，
h（x）_max=max{h（1），h（-1）}=1-b=2，即b=-1，
可得a+b=a-1∈（-1，-$\frac{1}{2}$）．
綜上可得，a+b∈（-1，-$\frac{1}{4}$]．

點評 本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷，注意運用定義法，考查函數的最值的求法，注意運用分類討論，以及二次函數對稱軸和區間的關系，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．