Question

5．設f（x）是定義在R上恒不為零的函數，且對任意的x、y∈R都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=f（n）（n∈N^*），則數列{a_n}的前n項和S_n的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，1）
• B． [$\frac{1}{2}$，1]
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 根據f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得數列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數列，進而可以求得S_n，運用單調性，進而得到S_n的取值范圍．

解答 解：∵對任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），
∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴數列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數列，
∴a_n=f（n）=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
由1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ在n∈N*上遞增，可得最小值為1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
則S_n∈[$\frac{1}{2}$，1）．
故選：A．

點評 本題主要考查了等比數列的求和問題，解題的關鍵是根據對任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到數列{a_n}是等比數列，屬中檔題．